I Numeri Perfetti hanno una lunga storia. Furono scoperti da Pitagora di Samo nel VI secolo a.C. e da allora hanno continuato a stupire e affascinare. Pitagora si era reso conto che il mondo è costituito da entità misurabili che possono essere espresse attraverso semplici rapporti numerici. Ne dedusse che si poteva arrivare a una conoscenza completa dell'universo attraverso lo studio dei numeri e delle loro proprietà. Secondo questa visione, i rapporti tra i numeri dovevano contenere la chiave di accesso a una conoscenza superiore e quindi Pitagora attribuiva ai divisori dei numeri un significato particolare.

In particolare, suscitarono la sua attenzione un gruppo di numeri, che chiamò Perfetti, caratterizzati dal fatto che la somma dei loro divisori è uguale al numero stesso. Per esempio:

i divisori di 6 sono 1, 2, 3 e la somma 1 + 2 + 3 è uguale a 6. Quindi 6 è un Numero Perfetto.
i divisori di 8 sono 1, 2, 4 e la somma 1 + 2 + 4 è uguale a 7. Quindi 8 è un Numero Difettivo.
i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6 e la somma 1 + 2 + 3 + 4 + 6 è uguale a 16. Quindi 12 è un Numero Eccedente.
I primi 6 Numeri Perfetti sono:

6
28
496
8.128
33.550.336
8.589.869.056

I Numeri Perfetti hanno molte altre curiose caratteristiche oltre a quella che li definisce. In primo luogo essi sono sempre la somma di una serie di numeri naturali consecutivi:

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Un altro aspetto singolare dei Numeri Perfetti è il loro misterioso legame con le potenze di 2. Pitagora aveva infatti notato che le potenze di 2 sono sempre Lievemente Difettive. Per esempio, la somma dei divisori di 4 è uguale a 3 (1 + 2), la somma dei divisori di 8 è uguale a 7 (1 + 2 + 4), la somma dei divisori di 16 è uguale a 15 (1 + 2 + 4 + 8) e così via. Gli venne quindi l'idea che doveva esserci un legame di qualche tipo tra il 2, numero a sua volta carico di simbolismi, e i Numeri Perfetti, ma non riuscì a trovarlo.

Fu Euclide, nel IV secolo, a scoprire che tutti i Numeri Perfetti possono essere scritti come 2n x (2n+1 - 1) dove n è un numero intero. Quindi tutti i Numeri Perfetti sono multipli di due numeri: una potenza di 2 e la successiva potenza di 2 meno 1. Per esempio:

6 = 21 x (22 - 1)
28 = 22 x (23 - 1)
496 = 24 x (25 - 1)

Utilizzando la regola di Euclide (e un computer) sono stati trovati Numeri Perfetti enormi come 2216.090 x (2216.091 - 1) che ha più di centrotrentamila cifre!

Nella filosofia esoterico-matematica di Pitagora l'aritmetica doveva essere la chiave per comprendere l'essenza dell'universo. Per i Pitagorici i Numeri Perfetti avevano quindi un interesse particolare, a causa delle loro speciale proprietà. Ma le caratteristiche singolari di questi numeri non furono notate solo dai Greci. Il 6, ad esempio, ricorre spesso nella Bibbia: Dio crea il mondo in 6 giorni e, non a caso, l'uomo viene creato proprio il sesto giorno. Anche il 28, altro Numero Perfetto, ha suscitato un certo interesse. Molti popoli notarono che la durata del ciclo lunare è uguale alla durata media del ciclo mestruale nella donna che è appunto di 28 giorni. Da questa osservazione nasce l'associazione donna-luna che, contrapposta all'associazione uomo-sole, è presente in molte culture, da quella egizia (Iside-Ra), a quella greco-romana (Artemide-Apollo), a quella cinese (Yin-Yang).

I Numeri Perfetti conservano il loro mistero anche oggi. Ci sono infatti degli aspetti di questo particolare gruppo di numeri che ancora non hanno trovato spiegazione. Quando la somma dei divisori di un numero differisce solo di una unità dal numero stesso si parla di Numeri Lievemente Difettivi o Lievemente Eccedenti. Per esempio, come visto prima, le potenze di 2 sono tutte Lievemente Difettive. Già Pitagora aveva notato che ci sono molti numeri che sono Lievemente Difettivi, ma non era riuscito a trovare dei Numeri Lievemente Eccedenti. Apparentemente, questi numeri non esistono, anche se nessuno è ancora riuscito a dimostrarlo o a capire perchè.

Numeri Amicabili e Socievoli

I Numeri Amicabili sono parenti stretti dei Numeri Perfetti. Anch'essi vennero scoperti nel VI secolo dai Pitagorici, alla continua ricerca dei rapporti numerici che, secondo la loro filosofia, erano la chiave per comprendere la realtà dell'universo.

I Numeri Amicabili sono coppie di numeri tali che la somma dei divisori di uno è uguale all'altro e viceversa. Per esempio 220 e 284. La somma dei divisori di 220 è 284 (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110) e la somma dei divisori di 284 è 220 (1 + 2 + 4 + 71 + 142).

Nel corso dei secoli altre coppie di Numeri Amicabili vennero scoperte. Fermat scoprì la coppia 17.296 - 18.416, Cartesio scoprì la coppia 9.363.584 - 9.437.056, un giovanissimo Paganini (aveva appena 16 anni) scoprì la coppia 1.184 - 1.210 e ben 62 coppie di numeri amicabili vennero scoperte da Eulero nel XVIII secolo.

A causa delle loro singolari proprietà, i Greci avevano attribuito a queste coppie numeriche un significato più mondano, ma non per questo meno importante, che non ai Numeri Perfetti. A causa del rapporto misterioso e "magico" che lega i due numeri di una coppia amicabile, I Numeri Amicabili erano associati all'amicizia e all'amore. In Genesi 32, per esempio, Giacobbe regala a Esaù, tra le altre cose, "duecento capre e venti capri, duecento pecore e venti montoni" in segno di amicizia. Nel Medioevo venivano venduti talismani e amuleti d'amore che portavano incisa la coppia amicabile 220 - 284. Un'interpretazione sicuramente più interessante era il loro potere afrodisiaco: gli arabi, che nel Medioevo avevano abitudini molto più goderecce di oggi, usavano incidere i due numeri su due frutti che gli amanti avrebbero dovuto poi scambiarsi come preludio a un incontro amoroso.

Un'estensione del concetto dei Numeri Amicabili è dato dai Numeri Socievoli, cioè gruppi di numeri (tre o più) tali che la somma dei divisori di ciascuno è uguale a un altro. Per esempio, in un gruppo di tre numeri la somma dei divisori del primo dà il secondo, la somma dei divisori del secondo dà il terzo e la somma dei divisori del terzo dà ancora il primo. La tripletta più semplice, scoperta nel ventesimo secolo è costituita dai numeri:

1.945.330.728.960 - 2.324.196.638.720 - 2.615.631.953.920

Questo affascinante "cerchio numerico" può arrivare a comprendere anche molti numeri, tutti collegati tra di loro dai rispettivi divisori. Il gruppo più ampio di Numeri Socievoli che si conosca è costituito da ben 28 numeri: per una incredibile coincidenza il 28 è anche un Numero Perfetto. Il primo membro di questa serie "perfetta" di Numeri Socievoli è 14.316, il secondo può essere trovato sommando i divisori di 14.316, il terzo sommando i divisori del secondo e così via per 28 volte fino a ottenere di nuovo 14.316.

Pitagora e Fermat

Il Teorema di Pitagora è il più noto dei risultati del famoso filosofo greco e probabilmente anche il più importante. In realtà era già conosciuto dai Babilonesi e venne in seguito scoperto indipendentemente dagli Indiani e dai Cinesi. Il Teorema dice che la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa. In forma matematica, se a e b sono i due cateti e c è l'ipotenusa: a2 + b2 = c2

L'enunciato è molto semplice ma ha un'importanza fondamentale. Innanzitutto il Teorema definisce l'angolo retto e quindi la perpendicolare, cioè la relazione tra orizzontale e verticale. In altre parole definisce lo spazio tridimensionale in cui gli esseri viventi si muovono. Inoltre si può dimostrare che è valido per tutti gli infiniti triangoli rettangoli che si possono costruire. Il Teorema porta in effetti il nome di Pitagora perchè lui fu il primo a capire che si trattava di una verità universale. E, con questa intuizione, inventò di fatto il concetto di dimostrazione matematica.

Esistono diverse dimostrazioni del Teorema di Pitagora e una delle più interessanti è quella di Euclide, che rivela vari aspetti curiosi dei numeri. Per dimostrare il Teorema è sufficiente dimostrare che esistono infinite terne pitagoriche, cioè terne di numeri interi tali che la somma dei quadrati di due numeri è uguale al quadrato del terzo. Per esempio, 3, 4 e 5 costituiscono la terna più semplice perchè 9 + 16 = 25.

Euclide aveva notato che la differenza tra due quadrati consecutivi è sempre un numero dispari.

22 - 12 = 3
32 - 22 = 5
42 - 32 = 7
52 - 42 = 9
62 - 52 = 11
72 - 62 = 13
82 - 72 = 15
92 - 82 = 17
102 - 92 = 19

Quindi sommando un quadrato a un numero dispari si ottiene un altro quadrato. Una frazione dei numeri dispari è a sua volta un quadrato. Ma i numeri dispari sono infiniti e una frazione dell'infinito è ancora infinita. Quindi esistono infiniti numeri dispari che sono anche quadrati e che sommati a un quadrato danno un altro quadrato. Il che significa che esiste un numero infinito di terne pitagoriche, tante quanti sono i numeri dispari che sono quadrati.

Un altro modo di vedere il Teorema di Pitagora è di pensare che esistono dei quadrati tali che la somma delle loro aree è uguale all'area di un altro quadrato. L'ovvia domanda successiva è se esistono dei cubi tali che la somma dei loro volumi è uguale al volume di un altro cubo. In altre parole, se esistono delle terne di numeri, a,b,c tali che a2 + b2 = c2 esistono anche delle terne x,y,z tali che x3 + y3 = z3?

Generalizzando, esistono delle terne x,y,z tali che xn + yn = zn per un qualunque n intero? Oppure è vero solo per n = 2, cioè per il Teorema di Pitagora?

Questo problema è diventato noto come l'Ultimo Teorema di Fermat nel 1600 quando, dopo la morte del grande matematico francese, venne ritrovato un suo appunto che diceva: "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto di questa pagina". Si tratta probabilmente della nota più famosa di tutta la storia della matematica ed era un guanto di sfida formidabile. Fermat sosteneva di aver trovato la soluzione a un problema insoluto dai tempi di Pitagora, ma non forniva nessun indizio su quale potesse essere questa dimostrazione.

Per 300 anni, l'Ultimo Teorema di Fermat fu la bestia nera di matematici e appassionati. La sua dimostrazione fu oggetto di premi, rivalità, gelosie e ossessioni personali. Fermat stesso aveva trovato che l'Ultimo Teorema non ha soluzioni per n = 4, Eulero aveva dimostrato il caso n = 3, e, dopo di loro, Dirichlet e Legendre avevano dimostrato il caso n = 5 e Lamé per n = 7 usando un metodo sviluppato da Sophie Germain, una delle poche donne matematiche della storia. Ma a parte questi scarsi progressi, i più grandi matematici del XVIII e del XIX secolo erano miseramente falliti nell'impresa: addirittura Gauss si rifiutò di affrontarlo e la dimostrazione di Cauchy, al termine di una drammatica "gara" con Lamé, era uscita distrutta dal'analisi del matematico tedesco Kummer.

All'inizio del Novecento l'Ultimo Teorema di Fermat si era ormai procurato la fama di problema più rognoso della teoria dei numeri ed era evitato come la peste da quasi tutti i matematici. Finchè, nel 1993, a Cambridge il matematico inglese Andrew Wiles annunciò di aver finalmente trovato una dimostrazione dell'ultimo Teorema di Fermat. Annunci simili ne erano stati fatti tanti nel corso dei secoli e infatti anche stavolta, nella dimostrazione di Wiles c'era un errore cruciale. Sembrava proprio che la maledizione di Fermat avesse colpito di nuovo, invece, due anni dopo, Wiles pubblicava su Annals of Mathematics la soluzione definitiva: l'Ultimo Teorema di Fermat era stato dimostrato! L'equazione xn + yn = zn ha soluzione solo per n = 2 (cioè il Teorema di Pitagora).

Ma qual'era la soluzione di Fermat? Wiles aveva dimostrato il Teorema usando tutta la matematica del XX secolo. Frey e Ribet avevano scoperto che se la Congettura di Taniyama-Shimura era vera, allora anche l'Ultimo Teorema di Fermat lo era e Wiles era riuscito nella notevole impresa di dimostrare la Congettura. Però Fermat non aveva idea neppure dell'esistenza della Congettura di Taniyama-Shimura e, per quanto fosse un genio, non poteva conoscere la matematica che ci stava dietro e che era servita a Wiles per la sua dimostrazione. Quindi la dimostrazione che Fermat diceva di aver trovato doveva essere per forza diversa. Oppure, anche lui, come tutti i matematici che l'hanno seguito, credeva di aver trovato la dimostrazione, ma si sbagliava.